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Agrégation externe 2022 — Analyse et probabilités

Le théorème des nombres premiers · 16 pages

Le problème démontre le théorème des nombres premiers $\pi(x) \sim x/\log x$ en le ramenant à la limite $(1/n) \sum_{k \leqslant n} \Lambda(k) \to 1$ pour la fonction de von Mangoldt. Il établit un théorème taubérien de type Karamata par approximation de Weierstrass, développe la transformée de Mellin et sa formule d'inversion (avec un détour par la transformée de Fourier de l'indicatrice de $\mathbb{R}_+$ au sens des distributions tempérées), obtient le produit eulérien de $\zeta$ par un argument probabiliste, prolonge $\zeta$ au demi-plan $\operatorname{Re} s > 0$ , montre qu'elle ne s'annule pas sur la droite $\operatorname{Re} s = 1$ grâce à l'inégalité $5 + 8 \cos \theta + 4 \cos 2\theta + \cos 3\theta \geqslant 0$ , et conclut par la formule d'inversion de Mellin.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Fonctions $\Gamma$ et $\zeta$ , séries de Dirichlet, logarithme complexe p. 2–6

Fonction zêta de Riemann · Séries de Dirichlet · Fonctions Gamma et Bêta · Analyse complexe · Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Théorie analytique des nombres — fonction de von Mangoldt, série de Dirichlet, principe des zéros isolés, densité dans l'espace $\ell^2$ , logarithme principal, fonction $\psi$ de Tchebychev

Partie II — Un théorème taubérien p. 6–8

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Théorème de Weierstrass · Densité · Fonctions Gamma et Bêta · Suites numériques · Intégrales généralisées et intégrabilité — théorème taubérien de Karamata, équation de Cauchy $f(x + y) = f(x) + f(y)$ , suite multiplicative décroissante, théorème de Weierstrass, forme linéaire positive

Partie III — Transformée de Mellin et distributions tempérées p. 8–10

Transformée de Mellin · Distributions · Fonctions Gamma et Bêta · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Analyse complexe · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — transformée de Mellin, formule d'inversion de Mellin, transformée de Fourier, distributions tempérées, valeur principale, masse de Dirac, prolongement holomorphe de $\Gamma$

Partie IV — Produit eulérien par les probabilités p. 10–11

Fonction zêta de Riemann · Produits infinis · Espaces probabilisés · Nombres premiers · Théorie analytique des nombres · Procédés de sommation et théorèmes taubériens — produit eulérien, loi zêta, événements indépendants, dérivée logarithmique de $\zeta$ , série des inverses des nombres premiers

Partie V — Prolongement de $\zeta$ et non-annulation sur $\operatorname{Re} s = 1$ p. 11–13

Fonction zêta de Riemann · Analyse complexe · Théorie analytique des nombres · Comparaison série-intégrale · Inégalités classiques — prolongement méromorphe de $\zeta$ , pôle simple en $1$ , non-annulation de $\zeta$ sur $\operatorname{Re} s = 1$ , inégalité $5 + 8 \cos \theta + 4 \cos 2\theta + \cos 3\theta \geqslant 0$ , logarithme holomorphe de $\zeta$

Partie VI — Conclusion : théorème des nombres premiers p. 13

Théorie analytique des nombres · Transformée de Mellin · Nombres premiers · Fonction zêta de Riemann · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Procédés de sommation et théorèmes taubériens — théorème des nombres premiers, formule d'inversion de Mellin, lemme de Riemann-Lebesgue, fonction de von Mangoldt

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Sommation d'Abel et intégrales impropres Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Théorie analytique des nombres Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intérieur, adhérence Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Transformée de Fourier des fonctions intégrables Applications linéaires continues et dual topologique Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de convergence dominée Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Suites, séries et parties compactes de ℂ