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Agrégation externe 2023 — Analyse et probabilités

Factorisation eulérienne du sinus et théorème de Paley-Wiener · 16 pages

Le sujet établit la factorisation partielle $\sin(z) = P_n(z)\cdot\hat{\rho}_n(z)$ , où $P_n(z) = z\prod_{k=1}^{n}(1 - z^2/(\pi k)^2)$ et $\hat{\rho}_n$ est la transformée de Fourier d'une densité en $\cos^{2n}(\pi x/2)$ portée par $[-1, 1]$ , en déduit le produit eulérien du sinus et la rationalité de $\pi^{-2\ell}\sum 1/k^{2\ell}$ . Il démontre ensuite que la transformation de Fourier réalise une bijection des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à support dans $[-1, 1]$ sur un espace de fonctions entières de type exponentiel (théorème de Paley-Wiener), puis l'étend aux distributions tempérées à support dans $[-1, 1]$ , avec une application aux fonctions caractéristiques.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Estimations d'intégrales p. 3–4

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements limités — intégrales de Wallis, convergence de $\cos^n(y/\sqrt{n})$ , équivalent d'intégrales, méthode de Laplace

Partie II — Factorisation eulérienne partielle du sinus p. 4–5

Produits infinis · Analyse complexe · Convergence uniforme et normale · Intégrales à paramètre · Séries entières — produit eulérien du sinus, convergence uniforme sur tout compact, zéros isolés, transformée de Fourier d'une densité

Partie III — Application aux valeurs de zêta aux entiers pairs p. 5–6

Fonction zêta de Riemann · Développements limités · Produits infinis · Nombres rationnels et décimaux — $\zeta(2\ell)/\pi^{2\ell}$ rationnel, développement de $\xi \operatorname{cotan} \xi$ , dérivée logarithmique

Partie IV — Espaces de fonctions p. 6–7

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Analyse complexe · Espaces vectoriels normés · Normes subordonnées et applications linéaires continues — fonctions entières de type exponentiel, prolongement holomorphe, formule de Cauchy, continuité de la dérivation

Partie V — Fonctions $\mathcal{C}^\infty$ à support compact p. 7–8

Transformées de Fourier et de Laplace · Analyse complexe · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Intégrales à paramètre — théorème de Paley-Wiener, transformée de Fourier, formule d'inversion de Fourier, intégrale sur un rectangle, fonctions à support compact

Notations sur les distributions et Partie VI — Distributions tempérées à support compact p. 9–11

Distributions · Transformées de Fourier et de Laplace · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Théorie de la mesure · Fonction caractéristique d'une variable aléatoire — distributions tempérées, espace de Schwartz, masse de Dirac, produit de convolution, approximation de l'unité, fonction caractéristique

Partie VII — Transformée de Fourier d'une distribution à support compact p. 12–13

Distributions · Transformées de Fourier et de Laplace · Analyse complexe · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — théorème de Paley-Wiener-Schwartz, fonction plateau, sommes de Riemann, distributions tempérées

Dans l'édifice

Dérivabilité Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La fonction zêta de Riemann et son prolongement ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Tribus et tribu borélienne