AnnalesEnseignement

Agrégation externe 2024 — Mathématiques générales

Sous-algèbres commutatives de dimension maximale et sous-groupes abéliens finis de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$ · 16 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet détermine la dimension maximale $\lfloor n^2/4 \rfloor + 1$ d'une sous-algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et décrit, pour $n \geqslant 4$ , celles qui l'atteignent, en passant par la trigonalisation simultanée et l'étude des espaces commutatifs de matrices nilpotentes ; il en déduit le cardinal maximal $(q - 1)q^{\lfloor n^2/4 \rfloor}$ d'un sous-groupe abélien de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ . La dernière partie établit l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$ , étudie les sous-groupes abéliens finis de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ , et montre que le cardinal maximal d'un sous-groupe abélien fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$ est $6^{n/2}$ si $n$ est pair et $2 \cdot 6^{(n-1)/2}$ si $n$ est impair.

Le sujet, partie par partie

Notations et I.A — Commutation et trigonalisation simultanée p. 2–4

Trigonalisation · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Matrices par blocs — trigonalisation simultanée, endomorphismes qui commutent, sous-espace stable commun, récurrence sur la dimension

I.B — Sous-groupes abéliens de $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ p. 5

Matrices orthogonales et rotations · Groupes cycliques et ordre · Nombres complexes · Groupes — $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ , racines de l'unité, centralisateur, conjugaison, sous-groupe d'ordre $n$

II.A — Les sous-algèbres $\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$ p. 5–6

Algèbres et sous-algèbres · Anneaux et idéaux · Corps finis · Groupes — sous-algèbre commutative, idéal maximal, groupe des inversibles, groupe multiplicatif d'un corps fini, produit direct

II.B — Sous-espaces commutatifs de matrices nilpotentes p. 6–7

Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — matrices nilpotentes qui commutent, dimension maximale $\lfloor n^2/4 \rfloor$ , conjugaison

II.C — Sous-algèbres commutatives de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ p. 8–9

Algèbres et sous-algèbres · Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Corps et extensions — sous-algèbre commutative de dimension maximale, sous-espaces caractéristiques, extension algébriquement close

II.D — Sous-groupes abéliens de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ p. 9

Corps finis · Groupes · Algèbres et sous-algèbres — sous-groupe abélien de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ , cardinal maximal

III.A — Irréductibilité des polynômes cyclotomiques p. 10–11

Polynômes cyclotomiques · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Résultant et discriminant · Racines et relations coefficients-racines · Groupe symétrique — polynômes cyclotomiques, entiers algébriques, discriminant, polynômes symétriques, polynôme minimal

III.B — Sous-groupes abéliens finis de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ p. 11–12

Matrices orthogonales et rotations · Groupes · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Sous-espaces stables · Polynômes cyclotomiques — décomposition orthogonale, rotations, norme d'opérateur, sous-groupe fini commutatif

III.C — Sous-groupes abéliens finis de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$ p. 12

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Représentations des groupes finis — sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , produit scalaire invariant, moyenne sur le groupe, conjugaison dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Sous-groupes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Corps finis Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Théorème du rang Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés

Agrégation externe 2024 — Mathématiques générales

Le sujet, partie par partie

Notations et I.A — Commutation et trigonalisation simultanée p. 2–4

I.B — Sous-groupes abéliens de 𝒪2(ℝ)\mathcal{O}_2(\mathbb{R}) p. 5

II.A — Les sous-algèbres 𝒜n(𝕂)\mathcal{A}_n(\mathbb{K}) p. 5–6

II.B — Sous-espaces commutatifs de matrices nilpotentes p. 6–7

II.C — Sous-algèbres commutatives de ℳn(𝕂)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) p. 8–9

II.D — Sous-groupes abéliens de GLn(𝔽q)\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q) p. 9