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Agrégation externe 2026 — Analyse et probabilités

Sommes d'inverses de puissances d'entiers distincts : séries de Sylvester, théorèmes de Paul Lévy et de Ronald Graham · 16 pages

Sujet (PDF)

Le sujet part des développements $p$ -adiques et de la série de Sylvester, construite sur la suite $s(n+1) = s(n)^2 - s(n) + 1$ , puis établit des estimations par analyse complexe (fonction $\pi^2/\sin^2(\pi z)$ , déterminations du logarithme). Il étudie quels réels sont sommes d'une sous-famille d'une série donnée, notamment de fractions unitaires ou d'inverses de carrés, démontre un théorème de Paul Lévy de type limite centrale sur les séries de Sylvester, et termine par le théorème de Graham sur les sommes d'inverses de puissances $p$ -ièmes d'entiers distincts.

Le sujet, partie par partie

Rappels et notations, Partie I — Développement $p$ -adique et série de Sylvester p. 2–4

Nombres rationnels et décimaux · Séries numériques · Suites numériques · Irrationalité et approximation diophantienne — développement $p$ -adique, suites adjacentes, série de Sylvester, développement périodique, fractions égyptiennes

Partie II — Estimations préliminaires p. 4–5

Équivalents et comparaison · Analyse complexe · Fonction zêta de Riemann · Convergence uniforme et normale · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction méromorphe, transformée de Fourier, développement de $\pi^2$ sur $\sin^2$ , $\zeta(2) = \pi^2/6$ , équivalent asymptotique

Partie III — Déterminations du logarithme p. 6

Analyse complexe · Séries entières · Connexité · Intégrales à paramètre — détermination du logarithme, logarithme principal, ouvert connexe, fonction holomorphe

Partie IV — Sommes de fractions unitaires p. 7–9

Séries numériques · Irrationalité et approximation diophantienne · Nombres rationnels et décimaux · Fonction zêta de Riemann · Équivalents et comparaison — sous-sommes d'une série, termes substituables, ensemble de Cantor, fractions unitaires, inverses de carrés, $\zeta(3)$

Partie V — Un théorème de Paul Lévy sur les séries de Sylvester p. 9–10

Théorème central limite et convergence en loi · Conditionnement et indépendance · Variables aléatoires et lois usuelles · Séries numériques — théorème de Paul Lévy, loi uniforme, fonction caractéristique, convergence en loi, loi normale

Partie VI — Un théorème de Ronald Graham p. 10–12

Arithmétique des entiers · Nombres rationnels et décimaux · Matrices par blocs · Polynômes — théorème de Graham, sommes de puissances distinctes, méthode de Sprague, problème de Prouhet-Tarry-Escott, trace des puissances d'une matrice

Dans l'édifice

ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Caractérisations de la connexité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition