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CCINP MP 2015 — Maths 1

Autour du théorème d'approximation de Weierstrass · 4 pages

Deux exercices courts ouvrent le sujet : la fonction génératrice d'une loi de Poisson, puis une série de fonctions $f_n(x) = e^{-nx} - 2e^{-2nx}$ pour laquelle on ne peut pas intervertir somme et intégrale. Le problème explore le théorème de Weierstrass : exemples et contre-exemples (fonction $1/x$ , fermeture des polynômes de degré borné, dépendance de la limite vis-à-vis de la norme), application au problème des moments sur un segment et contre-exemple sur $\left[0, +\infty\right[$ , approximation uniforme de $\sqrt{x}$ par une suite de polynômes via le théorème de Dini, et enfin démonstration probabiliste du théorème par les polynômes de Bernstein et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Loi de Poisson p. 1

Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments — fonction génératrice, espérance, variance, loi de Poisson

Exercice II — Série de fonctions et intégration terme à terme p. 1–2

Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Théorèmes de convergence intégrale · Suites et séries de fonctions — intégration terme à terme, série de fonctions, fonction intégrable, contre-exemple d'interversion

Problème, Partie 1 — Exemples et contre-exemples p. 2–3

Théorème de Weierstrass · Convergence uniforme et normale · Espaces vectoriels normés · Topologie, compacité, connexité · Normes équivalentes — théorème de Weierstrass, approximation uniforme, sous-espace de dimension finie fermé, normes sur $\mathbb{R}[X]$ , convergence dépendant de la norme

Problème, Partie 2 — Application : un théorème des moments p. 3

Problème des moments · Théorème de Weierstrass · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrale sur un segment · Nombres complexes — moments d'une fonction, orthogonal des polynômes, supplémentaire orthogonal, intégrale de $x^n e^{-(1-i)x}$ , fonction non nulle à moments nuls

Problème, Partie 3 — Exemple via un théorème de Dini p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Suites numériques · Points fixes et suites itératives — théorème de Dini, suite récurrente, approximation polynomiale de $\sqrt{x}$ , convergence simple non uniforme

Problème, Partie 4 — Démonstration du théorème de Weierstrass p. 4

Théorème de Weierstrass · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois de Bernoulli et binomiale · Continuité · Espérance, variance, moments — polynômes de Bernstein, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi binomiale, uniforme continuité, théorème de Heine, démonstration probabiliste

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Une série entière est holomorphe Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach