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X-ENS MP 2025 — Maths D
Le problème démontre le théorème de Brion, généralisation en dimension quelconque de la formule de la somme géométrique, qui exprime la série des points entiers d'un polytope rationnel comme somme des séries associées aux cônes de ses sommets. Il passe par les fonctions quasi-polynomiales, la caractéristique d'Euler des polytopes, les triangulations et le polytope de Birkhoff, et en déduit le théorème d'Ehrhart sur le dénombrement des points entiers des dilatés d'un polytope.
Le sujet, partie par partie
Partie préliminaire — Fonctions quasi-polynomiales p. 3
Séries entières · Polynômes · Nombres complexes — fonction quasi-polynomiale, racine de l'unité, développement en série entière, coefficient dominant
Partie 1 — Décomposition d'un entier en parties p. 3–4
Partitions et nombres combinatoires · Fonctions génératrices · Fractions rationnelles · Congruences et Z/nZ · Séries entières · Polytopes et géométrie combinatoire — partitions d'un entier, problème de la monnaie, série génératrice, décomposition en éléments simples, racines de l'unité, inverse modulo
Partie 2 — Étude des polytopes (enveloppe convexe, formule d'Euler, triangulations) p. 4–6
Polytopes et géométrie combinatoire · Ensembles convexes · Topologie algébrique · Topologie, compacité, connexité · Dualité · Géométrie affine et euclidienne — polytope, enveloppe convexe, sommets, faces, formule d'Euler, caractéristique d'Euler, triangulation, simplexe
Partie 3 — Le polytope de Birkhoff p. 6–7
Matrices stochastiques et bistochastiques · Ensembles convexes · Groupe symétrique · Polytopes et géométrie combinatoire — matrices bistochastiques, polytope de Birkhoff, matrices de permutation, théorème de Birkhoff-von Neumann, points extrémaux
Partie 4 — Développement des fractions rationnelles p. 7–8
Fractions rationnelles · Anneaux et idéaux · Séries formelles · Espaces vectoriels et dimension · Fonctions génératrices — séries formelles, corps des fractions, éléments de torsion, développement en série, algèbre de groupe
Partie 5 — Séries d'Euler-Maclaurin, théorème de Brion et théorème d'Ehrhart p. 8–9
Ensembles convexes · Dénombrement et combinatoire · Polytopes et géométrie combinatoire · Fonctions génératrices · Fractions rationnelles · Séries formelles · Topologie algébrique · Matrices stochastiques et bistochastiques — théorème de Brion, théorème d'Ehrhart, polynôme d'Ehrhart, cônes, polytope rationnel, points entiers