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Agrégation externe 2014 — Analyse et probabilités

Transformée d'Abel, sphères aléatoires et problèmes mal posés · 10 pages

Le problème étudie la transformée d'Abel $Af(x) = \int_x^1 f(t)/\sqrt{t - x}\,\mathrm{d}t$ comme opérateur sur $\mathcal{C}^0([0, 1])$ puis sur $L^p([0, 1])$ : formule d'inversion $A \circ A = \pi V$ avec $V$ l'intégration, semi-groupe des intégrales fractionnaires $V^\alpha$ ( $A = \sqrt{\pi}\, V^{1/2}$ ), injectivité, compacité pour $p > 2$ et quasi-nilpotence. Il l'applique à un modèle de sphères aléatoires coupées par un plan, où la loi du rayon des sphères se reconstitue à partir de celle des cercles observés via la transformée d'Abel, puis montre que l'équation $Af = g$ est mal posée et que la solution de $(tI + A)f = g$ converge vers $A^{-1}g$ dans $L^1$ lorsque $t \to 0^+$ .

Le sujet, partie par partie

Introduction, notations et Partie I — Transformation intégrale d'Abel p. 1–5

Opérateurs et théorie spectrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Dérivabilité — transformée d'Abel, formule d'inversion, intégrale fractionnaire, norme d'opérateur, opérateur injectif, fonction Bêta, opérateur de Volterra

Partie II — La transformée d'Abel et les espaces $L^p$ p. 5–7

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Transformées de Fourier et de Laplace · Compacité · Théorèmes de convergence intégrale · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Densité · Rayon spectral — espaces $L^p$ , produit de convolution, inégalité de Young, théorème d'Ascoli, lemme de Fatou, opérateur compact, opérateur quasi-nilpotent, série de Neumann, prolongement par densité

Partie III — Sphères aléatoires p. 7–9

Variables à densité · Couples et sommes de variables aléatoires · Opérateurs et théorie spectrale · Théorie de la mesure · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — problème de Wicksell, loi uniforme, rayon aléatoire, masse de Dirac, isométrie de $L^1$ , loi d'une variable aléatoire

Partie IV — Problèmes bien et mal posés p. 9–10

Opérateurs et théorie spectrale · Analyse complexe · Transformées de Fourier et de Laplace · Équations différentielles linéaires · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Densité — problème mal posé, problème bien posé, régularisation, théorème des résidus, approximation de l'unité, résolvante, inverse continu

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Compacité Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Intérieur, adhérence Spectre premier d'un anneau La loi normale Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss