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Agrégation externe 2020 — Analyse et probabilités

Transformée de Mellin, fonction zêta et critère de Báez-Duarte · 10 pages

Le sujet étudie la transformée de Mellin et l'utilise pour relier la fonction partie fractionnaire $\rho(x) = \{1/x\}$ à la fonction zêta de Riemann, prolongée méromorphiquement au demi-plan $\operatorname{Re}(s) > 0$ via la série alternée $G$ , avec $M\rho(s) = -\zeta(s)/s$ pour $0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ . Il démontre le sens « facile » du critère de Báez-Duarte : si l'indicatrice de $\left]0, 1\right]$ est dans l'adhérence $L^2$ de l'espace engendré par les $x \mapsto \rho(nx)$ , alors $\zeta$ ne s'annule pas dans la bande $1/2 < \operatorname{Re}(s) < 1$ . Il construit enfin un opérateur continu invariant $V$ de $L^2(\left]0, +\infty\right[)$ vérifiant $V\rho = J\rho$ et s'en sert pour montrer qu'une suite construite avec la fonction de Möbius converge simplement vers cette indicatrice mais ne converge pas dans $L^2$ .

Le sujet, partie par partie

Notations, rappels et Partie I — Exercices préliminaires p. 2–4

Séries entières · Séries de Fourier · Analyse complexe · Convergence uniforme et normale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries alternées — série alternée de fonctions, logarithme de $1 + x$ , coefficients de Fourier de la partie fractionnaire, intégrale de Dirichlet, théorème des résidus, puissance complexe

Partie II — Autour de la transformée de Mellin p. 4–5

Transformée de Mellin · Théorie de la mesure · Intégrales généralisées et intégrabilité — transformée de Mellin, bande de convergence, fonction indicatrice, dilatation, intégrabilité

Partie III — Fonction zêta de Riemann p. 5–6

Fonction zêta de Riemann · Analyse complexe · Séries de Dirichlet · Convergence uniforme et normale · Séries alternées — fonction zêta, fonction êta alternée, sommation d'Abel, holomorphie d'une série de fonctions, prolongement méromorphe, résidu en $1$

Partie IV — Fonction partie fractionnaire p. 6

Transformée de Mellin · Fonction zêta de Riemann · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Analyse complexe — partie fractionnaire de $1/x$ , fonction dans $L^2$ , transformée de Mellin de $\rho$ , $M\rho(s) = -\zeta(s)/s$ , pôle de zêta

Partie V — Distance de l'indicatrice de $\left]0, 1\right]$ à un espace de fonctions p. 7

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Fonction zêta de Riemann · Transformée de Mellin · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Densité — critère de Báez-Duarte, critère de Nyman-Beurling, polynôme de Dirichlet, zéros de zêta, distance dans $L^2$ , hypothèse de Riemann

Partie VI — Applications linéaires de $L^2(\left]0, +\infty\right[)$ p. 8

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Transformées de Fourier et de Laplace · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Inégalités fonctionnelles · Groupes — opérateur de dilatation, isométrie de $L^2$ , opérateur de Hardy, inégalité de Hardy, transformée en cosinus, théorème de Plancherel, opérateur invariant

Partie VII — Convergence d'une suite de $\cup B_N$ vers l'indicatrice de $\left]0, 1\right]$ p. 9

Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale — fonction de Möbius, somme des $\mu(d)$ sur les diviseurs, convergence simple, non-convergence dans $L^2$ , fonction de Mertens

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Transformée de Fourier des fonctions intégrables La fonction zêta de Riemann et son prolongement Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Sommation d'Abel et intégrales impropres Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Intérieur, adhérence Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus