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Agrégation externe 2024 — Analyse et probabilités

Solutions évanescentes de $y - y'' = (3/2)y^2$ et minimisation sous contrainte · 12 pages

Le sujet étudie l'opérateur $T f(x) = \frac{1}{2} \int e^{-|x-t|} f(t)\,\mathrm{d}t$ , qui fournit l'unique solution tendant vers $0$ à l'infini de $y - y'' = f$ , et l'espace de Banach $E$ des fonctions continues tendant vers $0$ à l'infini, dans lequel $\mathcal{C}^2 \cap E$ est dense. Il détermine toutes les solutions évanescentes non nulles de l'équation non linéaire $y - y'' = (3/2)y^2$ , translatées de $x \mapsto 1/\operatorname{ch}^2(x/2)$ , puis introduit l'espace de Sobolev $H = H^1(\mathbb{R})$ et montre, par les multiplicateurs de Lagrange et un argument de compacité (suite minimisante recentrée, convergence faible et convergence uniforme sur les compacts), que l'infimum de $\|v\|_H^2$ sous la contrainte $\int v^3 = 1$ est atteint et fournit une solution de l'équation.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — L'équation $y - y'' = f$ p. 2–4

Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales à paramètre · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Opérateurs et théorie spectrale · Intégrales généralisées et intégrabilité — solution évanescente, noyau $e^{-|x-t|}$ , opérateur borné, norme d'opérateur, unicité de la solution

Partie II — L'espace $E$ et l'opérateur $T$ p. 5

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Densité · Topologie, compacité, connexité · Analyse complexe · Convergence uniforme et normale — fonctions tendant vers $0$ à l'infini, espace de Banach, uniforme continuité, approximation de l'unité, convolution, théorème des résidus

Partie III — Solutions évanescentes de $y - y'' = (3/2)y^2$ p. 6

Équations différentielles non linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Inégalités classiques — équation différentielle non linéaire, intégrale première, inégalité de Taylor-Lagrange, fonctions hyperboliques, soliton

Partie IV — L'espace de Sobolev $H$ p. 7

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Inégalités fonctionnelles · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Théorie de la mesure · Densité — espace de Sobolev, dérivée faible, espace de Hilbert, complété d'un espace normé, inégalité de Sobolev

Partie V — Multiplicateurs de Lagrange p. 8

Calcul des variations · Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Calcul différentiel · Dualité · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — différentielle dans un espace de Hilbert, multiplicateur de Lagrange, minimisation sous contrainte, noyau d'une forme linéaire, équation d'Euler-Lagrange

Partie VI — Existence d'un minimiseur p. 9

Calcul des variations · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Compacité · Convergence uniforme et normale · Espaces préhilbertiens et euclidiens — suite minimisante, convergence faible, théorème d'Ascoli, perte de compacité par translation, méthode directe du calcul des variations

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Intérieur, adhérence Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Dérivabilité Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Théorème de représentation de Riesz Tribus et tribu borélienne

Agrégation externe 2024 — Analyse et probabilités

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — L'équation y−y′′=fy - y'' = f p. 2–4

Partie II — L'espace EE et l'opérateur TT p. 5

Partie III — Solutions évanescentes de y−y′′=(3/2)y2y - y'' = (3/2)y^2 p. 6

Partie IV — L'espace de Sobolev HH p. 7